Основы алгебры — В учебнике систематически излагаются основные понятия алгебры - от элементарных, с которых начинается ее изучение, до не очень простых, включающих теорию полиномиальных уравнений, которая необходима, в частности, для понимания свойств тензорных разложений многомерной матрицы. Каких-либо специальных знаний, кроме школьной программы, от читателя не требуется. Книга будет интересна широкому кругу студентов, изучающих математику и ее приложения, а также аспирантам и специалистам, желающим углубить свои знания.
Название: Основы алгебры Автор: Тыртышников Е. Е. Издательство: Физматлит Год: 2017 Страниц: 466 Формат: PDF Размер: 45,13 МБ Качество: Отличное
Содержание:
Предисловие Введение Предмет алгебры Арифметические векторы Линейная зависимость и независимость Подстановки и перестановки Определитель и формулы Крамера Теорема Лапласа Операции с матрицами Обратная матрица Формула Бине-Коши О Ранг матрицы Однородные системы Скалярное и векторное произведения Кривые второго порядка Ступенчатые матрицы и треугольные разложения Алгоритмы и оценки сложности вычислений Комплексные числа и комплексные матрицы Что нужно знать о группах Определение группы Избыточность в определении группы Аддитивные и мультипликативные группы Изоморфизмы групп Группа корней п-й степени из единицы Группы и подгруппы Смежные классы и нормальные подгруппы Циклические группы Действие группы на множестве Группа движений Группа дробно-линейных преобразований комплексной плоскости Гомоморфизмы групп Теорема Кэли о конечных группах Конечно порожденные абелевы группы Кольца, поля, многочлены Определения кольца и поля Поле вычетов Кольцо многочленов Деление с остатком и алгоритм Евклида Разложение на неприводимые множители Многочлены с целыми коэффициентами Круговые многочлены Поле частных Многочлены от нескольких переменных Матрица Сильвестра и результант Симметрические многочлены Линейные пространства, поля и их расширения Линейные пространства и подпространства Базисы и размерность Конечные и алгебраические расширения полей Присоединение корня Поле разложения Производная многочлена и кратные корни Неприводимость круговых многочленов Малая теорема Веддерберна Конечные поля Мультипликативная группа конечного поля Расширения полей в геометрии Основная теорема алгебры Линейные операторы Определение линейного оператора Операторы и матрицы Характеристический многочлен Матричные многочлены и подобие Собственные значения и собственные векторы Теорема Шура и нормальные матрицы Сингулярное разложение Инвариантные пространства и прямая сумма операторов Нильпотентные операторы и корневое разложение О Пространства Крылова и максимальное расщепление Жорданова форма Блочная жорданова форма вещественной матрицы Вычисление минимального многочлена Резольвенты Лагранжа Нормы и неравенства Расстояния, нормы, длины Сходимость, полнота, пополнение Ограниченность, замкнутость, компактность Нормы линейных операторов Выпуклые множества и выпуклые функции Неравенства Гёльдера и Минковского Наилучшие приближения на выпуклых множествах Разделяющие и опорные гиперплоскости Продолжение линейных функционалов Системы линейных неравенств Грани полиэдра и выпуклые многогранники Сопряженный оператор и нормальные операторы Собственные значения эрмитовых матриц Конгруэнтность и закон инерции Мажоризация и двоякостохастические матрицы Унитарно инвариантные нормы Группы, поля, уравнения Линейная независимость автоморфизмов поля Неподвижные поля и группы автоморфизмов Группы Галуа и поля разложения Вычисление группы Галуа Теория Галуа Примитивные расширения Циклические и радикальные расширения Полициклические расширения Теорема Абеля-Галуа О Казус Руффини Концептуальный вывод основной теоремы алгебры Теорема Силова Кольца и идеалы Идеалы и вычеты Идеалы и модули Радикалы и нильпотенты Простые и примарные идеалы Кольца частных, расширения и сужения идеалов Максимальные идеалы и локальные кольца Упорядоченные множества Неконструктивные построения Алгебраическое замыкание поля Алгебраическая зависимость и независимость Целая алгебраическая зависимость , Дифференцирования в кольцах и полях Теорема Гильберта о базисе Деление с остатком и базисы Грёбнера Критерий Бухбергера Алгебраические многообразия Множества нулей и аннуляторы Условие совместности Теорема Нётер о нормализации Теорема Гильберта о нулях Неприводимые многообразия Координатные кольца и полиномиальные отображения Рациональные отображения Проекции многообразия Конструктивные множества Размерность и степень Размерность собственного подмногообразия Размерность многообразия и ранг матрицы Якоби Размерность пересечения многообразий Комплексные многообразия Подготовительная теорема Вейерштрасса Применение теорем о неявной функции Главные тензорные ранги трехмерных матриц Список литературы Предметный указатель
